第一个推广： 在生成树计数问题中，其实我们做了这样一个假设，就是每条边的权值是1。我们再来看下这个公式

对于关联矩阵B来说（对于一个n个顶点m条边的无向图G，它的关联矩阵B是一个n*m的矩阵。对于第i条边e[i]=(u,v)，那么B[u][i]和B[v][i]中一个是1，一个是-1，第i列其他值为0），我们可以这样看，对于顶点(u,v) 之间若有边 e[x]=(u,v)，那么B[u][x]=1,B[v][x]=-1,x列其他值为0。那么，现在我们设边(u,v)的权值为w（我们这里认为w非负，没有边的时候w=0），那么其实B满足下面的式子

 

那么按照这个样子，$det(C_{r})$它计算出的是

其中

最后对于

也能构造出一个上三角矩阵，对角线分别是到它父节点的边的权值。

 

第二个推广：我们来求带权无向图的最小生成树的个数。如果图的权值都是相同的，那么直接使用matrix-tree定理计算即可。对于不是这样情况的，我们可以这样解决。首先将边权升序排序，这样权值相等的边就排到了一起。然后，相等权值的边划分为一组。我们按照组一组一组处理。

在这里有这样一个性质，设在某一种最小生成树中边权为w的边使用了x条，那么在所有类型的最小生成树中，边权为w的边都必然使用了x条，并且这x条边加上之前权值小于w的边中选出的一些边加入后图的联通状态不变。首先我们来证明联通状态不变。首先，我们假设在权值为w的边处理之前，处理完权值小于w的边之后，形成的联通块数为c1，加入权值为w的x条边之后联通块数为c2，显然c2=c1-x。那么不管权值为w的边你选多少条如何选，之后联通块数都不会比c2更小了，要是更小，说明我们c2求错了。要是比c2大，那么这不是最优的情况，因为对于某两个未联通的块，现在让他俩联通一定比之后让他俩联通优，因为后面的权值越来越大。接着我们证明，使用的边的数量一定是x，这也很显然，c1,c2都是固定的，联通块数减少了c1-c2，所以一定用了这么多边，不能多也不能少。

有了这个性质，我们对于每个阶段，我们将这个阶段之前的联通到一起的点看做一个点，那么权值为w的所有边加入后，就成了一些联通块，每个联通块内边的权值都一样，所以可以使用matrix-tree 定理搞一次，所有的联通块的乘起来即可。而每个阶段是独立的，乘起来就是最后答案。